Lo primero aclarar que gksudo y kdesudo hacen lo mismo, solo que el primero se usa en Cinnamon, Mate y XFCE, mientras que el segundo se utiliza en KDE. Por tanto, deberás emplear uno u otro según tu escritorio.
En general, siempre debes usar gksudo o kdesudo para ejecutar programas gráficos como root. Utiliza sudo y su sólo para programas de línea de comandos. De lo contrario, puedes terminar con programas gráficos que cambien la propiedad de los archivos en su directorio de raíz, lo que puede causar muchos problemas.
gksudo, kdesudo y sudo se emplean con tu propia contraseña, siempre y cuando pertenezcas al grupo sudo. Si tu usuario es el primero que creaste al instalar el sistema, pertenecerá a este grupo. Por su parte, su requiere la contraseña del usuario al que vas a cambiar y no necesita ser miembro del grupo sudo para utilizarse. Si utilizas gksudo o kdesudo se te pedirá la contraseña en una ventana gráfica. Por contra, sudo y su piden la contraseña en la terminal (no se ve mientras escribes, esto es una medida de seguridad).
Tras estas aclaraciones, pasamos a resumir las diferencias entre estos comandos:
gksudo y kdesudo establecen $ HOME en el directorio /home de root y establecen $ XAUTHORITY en un nuevo archivo fuera de tu directorio /home (aunque con la misma cookie para comunicarse con el servidor X), por lo que el programa que ejecuta no cambia la propiedad de los archivos de tu directorio /home a root. Sólo un número limitado de variables de entorno, y no funciones ni alias, se conservan al cambiar de usuario de esta manera.
sudo no hace nada de eso y por ello no debe emplearse en programas gráficos, pues estos emplean esas variables de entorno, y solo un número limitado de estas variables de entorno se conservan, no funciones ni alias al cambiar de usuario de esta manera. Dentro de este comando, destacamos:
sudo -i Establece $ HOME en el directorio /home de root y además cambia a ese directorio. Pero al no establecer valor para la variable $ XAUTHORITY no debería ser usado para aplicaciones gráficas. Al cambiar de usuario de esta manera, solo se preservan un número limitado de variables de entorno, y no funciones ni alias.
sudo -H Establece $ HOME como directorio /home de root. Tampoco establece $ XAUTHORITY y por tanto tampoco debe usarse con programas gráficos. Sólo un número limitado de variables de entorno, y no funciones ni alias, se conservan al cambiar de usuario de esta manera.
su Establece $ HOME como directorio /home de root, pero de nuevo no se establece $ XAUTHORITY y por tanto tampoco se debe usar para programas gráficos. Todas las variables de entorno (con algunos cambios), pero sin funciones ni alias, se conservan al cambiar de usuario de esta manera.
su - Hace lo mismo que sudo -i, pero empleas tu contraseña como root, aunque repito, no hagas caso a esto si utilizas el usuario creado durante la instalación, ya que tu usuario pertenece al grupo sudo y por tanto no te afecta esta diferencia.
Fuente: Linux Mint